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有用与无用的信息

2014-12-30cover
正好明年是羊年了,说一个有趣的关于羊的问题,这个问题叫「蒙提霍尔问题」或者「三门问题」或者「羊车问题」……


正好明年是羊年了,说一个有趣的关于羊的问题,这个问题叫「蒙提霍尔问题」或者「三门问题」或者「羊车问题」,在网上有广泛的讨论,以下引自维基百科:

这个游戏的玩法是:参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车或者是奖品,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车或奖品,而另外两扇门后面则各藏有一只山羊或者是后面没有任何东西。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率?如果严格按照上述的条件的话,答案是会—换门的话,赢得汽车的机率是2/3。

看起来有点违反直觉,但换门后赢的概率加倍是事实,维基百科的简单解释是,试想原本得到汽车的概率是 1/3,之后的换门这个动作,如果做的话,就会车变羊羊变车,两者相互对换,那么坚持初始的选择,选中汽车的概率不变,任然是 1/3,而选择换门,选中汽车的概率会变成选中羊的概率,就是 2/3。

如果你第一次知道这个问题,你可能得花几分钟想一想这个问题。也有可能你已经听说过并思考过这个问题了,不过我想从另外一个角度来讨论这个问题。

我想说的是,本文标题这个话题,有用与无用的信息。这个问题的争论点,或者让人不解的地方是,我面对换门的选择,可以看成我面对两扇门,里面只有一辆汽车,那么换不换门与我直接二选一不一样吗?

其实是不一样的,要注意主持人是知道哪个门后面有汽车的,他是故意打开一扇背后有羊的门,也就是说,主持人为这个系统输入了一段有效信息,在这样的条件下,两扇门背后哪一个有车的概率就不是均分的。

我们假设另一种做法,主持人也不知道哪个门后面有车,它随机打开一扇门,看看是车还是羊,如果是车,很遗憾玩家选错了,如果是羊,他还会问玩家要不要换,那应该换还是不换呢?答案是无所谓,两扇门后面是车的概率均等,都是 1/2,也就是都是原来的 1/3,其中一个 1/3 已经被干掉了,剩下两个选项都是原来的 1/3,都变成了 1/2,换不换无所谓。

从我们之前说的信息输入的角度来看,这种玩法下,主持人对哪扇门后面有车也毫无头绪,他并没有掌握有效信息,也就无法为系统输入有效信息,而只能让系统随机地向下一个阶段去演进。在没有新的有效信息带入的情况下,别的玩家的决策当然不应该受到什么影响。

另一个问题也是关于概率,就拿赌硬币正反面来说好了。如果说一个抛硬币游戏,前面十次的结果都是正面头像,对于下一次,你应该买正面还是反面呢?

我希望你是一个合格的赌徒,也就是说,能排除无效信息的干扰。如果这是一个标准的硬币,那么每次抛起它都是一个独立事件,不会受之前的结果影响,前面几次的结果给到你也都是无效信息,希望你不要以为前面连续出现 10 次正面这次是背面的概率就会大一点。

但注意前面这句「如果这是一个标准的硬币」,这个信息是哪来的呢,假设不让你检查这枚硬币,而只给你历史纪录呢?如果给你的记录是只抛了十次,十次出现正面,或者是只抛了 100 次,而 100 次都是正面,这时你有理由怀疑这个硬币有问题,有可能它就是蝙蝠侠里哈维的那个双头硬币,怎么抛都是正面,那么这时建议你还是赌下一次也是正面吧。而如果你拿到手的记录是一万次的结果,你看到正反两面结果大致等同,只是这最后十次恰好都是正面,那么你应该可以推测这个硬币没什么问题。

对于解概率题,可能最难的就是把自然语言翻译成精确的数学语言,在这过程中要判断哪些是有效信息而哪些不是,选错了结果就错了。而在现实生活中,情况很可能会更为复杂,面对众多的信息我们可能只能取舍影响力更大的信息,至于怎样去获取它们,则是更大的难题了。

好了,概率就讨论到这,我们的专栏叫 http://suckless.info ,就是有尽力提供 suckless 的、有效的信息这样一个意思在里面,另外,也希望是能标榜一种精简信息获取的这样的生活态度吧,尽量去获取有效的信息,是可以通过少获取信息而达成的。

专栏接下来要怎么写我还没想到,今天这些只是一些我一直想分享的,信息,不知道对你有用与否?

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